Spis treści

1. Wstęp

2. Część I. Prawo supermarketów

1. Prawo Benforda

2. Myślenie multiplikatywne

3. Nasze wrodzone poczucie liczb

4. Skrybowie bez zera i przecinków

Tytuł oryginału: Le théorème du parapluie
Où l’art d’observer le monde dans le bon sens

Przekład: Łukasz Musiał
Opieka redakcyjna: Katarzyna Nawrocka
Redakcja merytoryczna: dr Tomasz Zamek-Gliszczyński, prof. Tadeusz Stanisz
Redakcja: Anna Taraska

Projekt okładki i stron tytułowych: Norbert Młyńczak
Ilustracje: Chloé Bouchaour

Copyright © Editions Flammarion, Paris, 2019
Copyright for the Polish edition and translation
© JK Wydawnictwo sp. z o.o. sp. k., 2020

Wszelkie prawa zastrzeżone. Żadna część tej publikacji nie może być powielana ani rozpowszechniana za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych bez uprzedniego wyrażenia zgody przez właściciela praw.

ISBN 978-83-8225-013-8
Wydanie I, Łódź 2020

JK Wydawnictwo Sp. z o.o. sp. k., ul. Krokusowa 3, 92-101 Łódź
tel. 42 676 49 69
www.wydawnictwofeeria.pl

Wersję elektroniczną wykonano w systemie Zecer firmy Elibri

Wstęp

W 1980 roku pedagodzy z Instytutu Metodyki Nauczania Matematyki w Grenoble zadają grupie dzieci następującą zagadkę:

Na statku jest 26 owiec i 10 kóz. Ile lat ma kapitan?

Pytanie jest dziwne. Co ma wiek kapitana do liczby owiec i kóz? A jednak 75% spośród niemal dwustu siedmio- i ośmiolatków jest pewna swojej odpowiedzi. Spora część dodaje obie liczby, uzyskując wynik 36. Ale gdy ten sam test rozwiązują dzieci w wieku od dziewięciu do dziesięciu lat, większość wyraża wątpliwości albo wręcz odmawia udzielenia odpowiedzi. Chętnie odpowiada jedynie 20%. W ciągu dwóch lat u dzieci rozwinęło się myślenie krytyczne. Zrobiły się bardziej przenikliwe i nauczyły się podchodzić z dystansem do sensowności wykonywanych zadań.

Muszę przyznać, że gdy byłem w ich wieku, łamigłówki dostarczały mi niemałej frajdy. Mam tu na myśli podchwytliwe zagadki gimnastykujące mózg, w gruncie rzeczy bardziej żarty niż problemy matematyczne. Jedna z moich ulubionych brzmi tak:

Orkiestra złożona z 50 muzyków gra IX symfonię Beethovena przez 70 minut. W jakim czasie tę samą symfonię zagra orkiestra złożona ze 100 muzyków?

Czas wykonania symfonii nie zależy oczywiście od liczby muzyków, więc 70 minut pozostaje 70 minutami. Bardzo podobała mi się także ta: Co jest cięższe, kilogram puchu czy kilogram żelaza? Ani jedno, ani drugie. Rzecz jasna, ważą przecież tyle samo: kilogram.

Okazało się, że proces oswajania sensu zaprowadził mnie dalej, niż mogłem wówczas przypuszczać. Im więcej się dowiadywałem, tym więcej odkrywałem niuansów w znaczeniach słów oraz luk w moim pojmowaniu świata. Fakt, dorośli nie wpadają w te same sidła co dzieci. Jednak nieroztropnie byłoby zakładać, że jesteśmy zabezpieczeni przed wszelkimi pułapkami. Intuicja może nas zmylić, a nasze przekonania bywają błędne. W wieku 35 lat mogę chyba powiedzieć, że począwszy od pierwszej klasy podstawówki, nie było takiego roku, w którym nie stwierdziłbym, że mylnie postrzegam, zdawałoby się, doskonale znane mi rzeczy.

Jeśli chcemy zrozumieć świat, zaintrygowani otaczającą rzeczywistością, musimy wyjść ze swojej strefy komfortu. Z grubsza rzecz ujmując, dawni wielcy uczeni zachowywali się jak dzieci odmawiające podania wieku kapitana. Wątpili w to, co mieli przed oczami, i starali się sięgnąć wzrokiem dalej. Zbuntowali się przeciwko ustalonemu porządkowi. Nauka to wymarzony azyl dla kontestatorów, a matematyka jest jednym z ich najpotężniejszych narzędzi.

Uprawianie matematyki umożliwia wejście za kulisy rzeczywistości. Pozwala wśliznąć się na sceniczne zaplecze, by tam przyglądać się potężnym kołom zębatym napędzającym machinę wszechświata. Spektakl jest olśniewający, ale przyprawia o zawrót głowy. Rzeczywistość stanowi bowiem wyzwanie dla naszych zmysłów i intuicji. Nie jest tym, czym się wydaje. Wywraca do góry nogami nasze przyjęte a priori założenia i depcze to, w co głęboko wierzyliśmy. Nic nieznaczące szczegóły mogą kryć w sobie wielkie sekrety, a dziecięce łamigłówki bywają głębsze, niż można by sądzić.

Choćby taka:

Jeżeli cztery kury znoszą cztery jajka w cztery dni, to ile jajek zniesie osiem kur w osiem dni?

Pogłówkuj nad nią, jeszcze do tej kwestii wrócimy. Teraz mogę ci tylko zdradzić, że gdy odkryłem tę zagadkę w wieku dziesięciu lat, nie przypuszczałem, że pewnego dnia pomoże mi ona zrozumieć najsłynniejsze twierdzenie świata.

Zatem jeśli masz ochotę przez chwilę mi potowarzyszyć, zapraszam w podróż. Całkiem możliwe, że podczas naszej eskapady wystąpi kilka trudnych momentów – w końcu nie zmienia się swojego sposobu myślenia ot, tak. Pewnie pojawią się wątpliwości, które trzeba będzie przezwyciężyć, i idee, którym trzeba będzie pozwolić dojrzeć. Ale nie poddawaj się, przyjemność zrozumienia tysiąckrotnie wynagrodzi ci podjęty trud. Za tą kartką zaczyna się nasza matematyczna wyprawa ku najpiękniejszym zakulisowym mechanizmom świata. Podnieś na chwilę wzrok i przyjrzyj się otaczającej cię scenerii: może się zdarzyć, że po powrocie z wycieczki zobaczysz wszechświat – swój wszechświat – nieco inaczej.

Część I

Prawo supermarketów

Prawo Benforda

Bywa, że podróże matematyczne rozpoczynają się w całkiem prozaicznych miejscach. Proponuję, abyśmy zajrzeli najpierw do najbliższego sklepu. Na pewno znajdzie się jakiś w twojej okolicy. Choćby ten, w którym zazwyczaj robisz zakupy. Nie ma znaczenia, czy jest to gigantyczne centrum handlowe, czy osiedlowe delikatesy, wystarczy, że będą w nim podstawowe produkty, takie, których potrzebujemy na co dzień.

Miejsce jak miejsce. Byłeś w tym sklepie już setki, może tysiące razy. Równoległe alejki, metalowe regały, regularne piknięcia skanowanych w kasie kodów kreskowych i snujący się klienci, którzy machinalnie chwytają butelkę mleka lub konserwę. Ale my dzisiaj nie robimy zakupów. Przeprowadzamy misję obserwacyjną.

Właśnie w sklepie kryje się bowiem jedna z najbardziej intrygujących ciekawostek matematycznych. Przez wszystkie te lata była tu, przed twoimi oczami. Nikt jej nie ukrył, widzisz ją – właśnie teraz. Niepozorną anomalię. Jeden z tych nic nieznaczących, umykających uwadze szczegółów, które jednak powinny wzbudzić podejrzliwość czujnych obserwatorów. Wyjmij notes lub otwórz notatnik w smartfonie i zacznijmy nasze dochodzenie.

Przyjrzyj się cenom widniejącym na etykietach umieszczonych wzdłuż sklepowych półek. 2,30 zł… 1,08 zł… 12,49 zł… 3,53 zł… Liczby te wydają się zupełnie przypadkowe. 1,81 zł… 22,90 zł… 0,64 zł… Zakres cen rozciąga się od kilku groszy po kilkadziesiąt złotych. Ale nie będziemy skupiać się na detalach. Zapomnij o przecinkach i całej drobnicy. Przy każdej cenie weź pod uwagę wyłącznie pierwszą, najważniejszą cyfrę, tę, która pozwala oszacować przybliżoną wartość artykułu.

Tu 530-gramowa puszka czerwonej fasoli za 1,54 zł. W notesie zapisujesz 1. Nieco dalej dezodorant „24h” za 3,53 zł. Notujesz 3. Serek topiony za 1,81 zł. Znów zapisujesz 1. Patelnia z powłoką nieprzywierającą za 45,90 zł, tym razem wykroczyliśmy poza rząd jednostek, ale to bez znaczenia, skupiamy się wyłącznie na pierwszej cyfrze. Notujesz 4. Opakowanie prażonych orzeszków ziemnych za 0,74 zł. Tutaj pierwszą znaczącą cyfrą jest 7.

Krążymy tak przez kilka minut, a cyfr przybywa. 1 3 1 4 7 9 2 2 1 7 9 8 1 1 3 1 1 1 8 1 1 2 1 2 1 1 9 1 4 7 1 6 1 5 9 2 2 1 3 2 2 2 1 2 2 6… Jednak im bardziej w to brniemy, tym większe ogarnia nas zwątpienie. Nie uważasz, że w tym korowodzie cyfr jest coś nie tak? Panuje w nim pewna nierównowaga. Ciąg składa się głównie z 1 i 2 poprzetykanych gdzieniegdzie 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Czyżbyśmy nieświadomie kierowali naszą uwagę ku najniższym cenom? Mamy problem.

Zachowajmy się zatem jak odpowiedzialni statystycy. Żeby uniknąć subiektywnych, błędnych wniosków, postawmy na bardziej systematyczną metodę. Wybierzmy losowo kilka działów i w każdym z nich spiszmy ceny wszystkich produktów bez wyjątku. Sporo roboty, ale musimy mieć czyste sumienie.

Godzinę później kilka stron naszego notesu pokrywają cyfry. Czas zrobić bilans. Po podliczeniu werdykt brzmi jednoznacznie: zaobserwowana tendencja to fakt. Spisałeś ceny ponad tysiąca produktów i jedna trzecia z nich zaczyna się od 1! Więcej niż jedna czwarta zaczyna się od 2, a im cyfra wyższa, tym rzadziej występuje.

Po zebraniu danych otrzymujemy następujący rozkład[1]:

Tym razem nie może być już mowy o zwykłym przypadku czy subiektywnym zestawieniu produktów. Musimy uznać oczywisty fakt: pierwsze cyfry cen produktów w markecie nie są reprezentowane równomiernie. Niskie cyfry mają zdecydowaną przewagę.

Skąd ta nierównowaga? Oto jest pytanie. Jakiemu prawu sklepowemu, handlowemu czy ekonomicznemu podlegają te etykiety, by dawać tak dziwny rezultat? Dlaczego pierwsze cyfry cen nie są reprezentowane równomiernie? Czyż matematyka nie powinna traktować wszystkich cyfr egalitarnie, bez preferencji czy faworyzowania? Tymczasem fakty są, jakie są, i mówią zupełnie coś innego. W supersamach matematyka ma swoich pupilków: 1 i 2.

Przeprowadziliśmy obserwacje. Stwierdziliśmy fakty. Teraz będziemy musieli przemyśleć, przeanalizować i rozłożyć problem na czynniki pierwsze. Dysponujemy faktami, a naszym zadaniem będzie przeprowadzić dochodzenie i ogłosić wnioski.

W marcu 1938 roku amerykański inżynier i fizyk, Frank Benford, opublikował artykuł zatytułowany The Law of Anomalous Numbers (Prawo liczb anomalnych), w którym przeanalizował ponad dwadzieścia tysięcy różnych danych numerycznych. Sporządzone przez niego tabele są spisami długości rzek świata, liczebności populacji amerykańskich miast, mas atomowych znanych pierwiastków, liczb znalezionych losowo w gazetach, stałych matematycznych. Przy każdej z tych kategorii Benford zauważa taką samą prawidłowość jak my: pierwsze cyfry nie są rozłożone równomiernie. Około 30% liczb zaczyna się od 1. 18% zaczyna się od 2. Odsetek maleje w miarę przybliżania się do cyfry 9, która występuje na początku tylko w 5% przypadków.

Benfordowi nie przyszło do głowy, by porównać swoje dane statystyczne z cenami w okolicznym supersamie. Przyznasz jednak, że jego wyniki dziwnie przypominają nasze. Istnieją, oczywiście, drobne odstępstwa, ale ogólnie rzecz biorąc, podobieństwo jest uderzające.

Praca Benforda dowodzi, że zebrane przez nas dane nie są wyjątkiem. Nie ilustrują prawidłowości specyficznej dla supermarketów, lecz wpisują się w o wiele ogólniejszy trend. Po 1938 roku identyczny rozkład zaobserwowało wielu naukowców w najróżniejszych, często zaskakujących dziedzinach.

Na przykład w demografii. Wśród 203 krajów[2], jakie znajdują się na kuli ziemskiej, aż 62, czyli 30,5%, ma populację, której wielkość zaczyna się od cyfry 1. Poczynając od najbardziej zaludnionych Chin z 1,4 miliarda mieszkańców. Wśród tych 62 państw znajdują się także: Meksyk – 122 miliony mieszkańców, Senegal – 13 milionów mieszkańców, czy archipelag Tuvalu – 10 800 mieszkańców. Istnieje natomiast tylko 14 państw, a więc 6,9%, których liczba mieszkańców zaczyna się od cyfry 9.

Wolisz astronomię? W wypadku czterech z ośmiu planet krążących wokół Słońca liczba opisująca średnicę równikową zaczyna się od 1. Jowisz – 142 984 km. Saturn – 120 536 km. Ziemia – 12 756. Wenus – 12 104. Nawet średnica Słońca wynosi 1 392 000 km. A jeżeli próbka dziewięciu ciał niebieskich nie wydaje ci się wystarczająco reprezentatywna, by uznać istnienie tej prawidłowości, dodaj planety karłowate, satelity, asteroidy czy komety, a i tak dojdziesz do tego samego wniosku: jedynka górą.

Wystarczy wzmóc czujność, by przykłady zaczęły się mnożyć. Weź jakiekolwiek zestawienie liczb, przeanalizuj pierwsze cyfry i bingo: rozkład Benforda widoczny jak na dłoni. Nie ma mowy o wyjątku, owa statystyczna prawidłowość wydaje się bowiem całkowicie naturalna i wszechobecna. Równomierny rozkład, za którym pewnie opowiedzielibyśmy się intuicyjnie, paradoksalnie jest we wszechświecie nieobecny.

Na tym poziomie trudno mówić o zwykłej ciekawostce handlowej. To, co właśnie wydobyliśmy na światło dzienne, jest faktycznym prawem, które reguluje nie tylko liczne dziedziny ludzkiej aktywności, ale również samą naturę, na jej najbardziej podstawowym poziomie. Zrozumieć to prawo to zrozumieć coś ważnego o naszym świecie i jego funkcjonowaniu.

Wpływ prawa Benforda jest na tyle duży, że sami je nieświadomie powielamy. Ludzie, którzy ustalają ceny w supersamach, nie uzgadniają tego ze sobą i w większości nigdy nie słyszeli o Franku Benfordzie. A mimo to, jakby wiedzeni niewidzialną siłą, poddają się jego prawu. Podobnie dzieje się z populacjami państw, długościami rzek i średnicami planet.

W 1938 roku Frank Benford nazwał ten rozkład „prawem liczb anomalnych”. Prawo jest jednak tak wszechobecne, że nazwa wydaje się niewłaściwa. Anomalia jest wyłącznie subiektywna, istnieje tylko dla tych, których dziwi. W przeciwieństwie do nas natura zdaje się uznawać to prawo za całkowicie pospolite. Prawo jest anomalne tylko do czasu, gdy pozostaje niezrozumiałe. A my przecież mamy zamiar je zrozumieć.

W którą więc stronę wyruszyć? Jak pokierować naszą myśl, by rzucić światło na anomalię i zmienić tajemnicę w oczywistość?

Prawo Benforda dość łatwo zrozumieć, co jednak nie oznacza, że da się je wyjaśnić w kilku zdaniach. Ukryta w nim matematyka jest prosta, ale zarazem głęboka. Nie jest to łamigłówka, do której rozwiązania wystarczy słowo klucz zapewniające doznanie olśnienia i radosny okrzyk: „Yes! No przecież!”. Będziemy musieli radykalnie zmienić nasze rozumienie liczb oraz sposób liczenia. Jeżeli prawo Benforda nie wydaje nam się oczywiste, to dlatego, że myślimy niewłaściwie. Będziemy musieli nauczyć się spoglądać inaczej na rzeczy, o których sądziliśmy, że dobrze je znamy. Będziemy musieli zakwestionować samych siebie.

Nie wraca się takim samym z podróży do świata, który otworzył przed nami Frank Benford. Jego prawo cię odmieni. Gdy wreszcie je zrozumiesz, zaczniesz myśleć inaczej.

Myślenie multiplikatywne

Wiele codziennych sytuacji dyskretnie nam uświadamia, że słabo sobie radzimy z liczbami. Wiemy, że dzwoni, ale nie wiemy, w którym kościele.

À propos liczb, mam dla ciebie krótką anegdotę.

Kilka lat temu na wieczornej posiadówce u przyjaciół ktoś wpadł na pomysł, by zorganizować quiz z wiedzy o świecie. Podzieliliśmy się na dwie drużyny. Każda miała odpowiedzieć na serię pytań z różnych dziedzin, począwszy od matematyki, przez biologię i informatykę, na geologii kończąc. Po każdym pytaniu drużyny miały podać odpowiedź, a ta najbliższa prawdy była premiowana punktem. Zasada, wydawałoby się, prosta i jednoznaczna. Jednak po kilku rundach gry pewna kwestia astronomiczna wywołała nieoczekiwany spór.

Pytanie brzmiało: „W jakiej odległości od Ziemi znajduje się Księżyc?”.

W naszej drużynie nikt nie znał odpowiedzi, ale po naradzie uzgodniliśmy, że będzie to 800 000 km. Ustalenia w drużynie przeciwnej przebiegały w bardziej nerwowej atmosferze, ale w końcu i tam pojawiła się odpowiedź: 10 km!

Najwyraźniej znali się na astronomii jeszcze gorzej niż my. Najwyższa góra na świecie, Mount Everest, ma prawie 9 km wysokości. Gdyby Księżyc znajdował się w odległości zaledwie 10 km, wystarczyłoby na nią wejść, by mieć naszego naturalnego satelitę na wyciągnięcie ręki. Ich odpowiedź była absurdalna. Wszystko wskazywało na to, że punkt mamy w kieszeni.

Tymczasem po weryfikacji wyników sprawy przybrały co najmniej zaskakujący obrót. W rzeczywistości Księżyc znajduje się w odległości 384 000 km od Ziemi. Zwykłe odejmowanie pokazało więc, że pomyliliśmy się o 416 000 km, podczas gdy drużyna przeciwna pomyliła się tylko o 383 990 km.

Pokręciłem nosem i w głowie policzyłem wszystko jeszcze raz. Na próżno. Przyznaję, że na wszelki wypadek nabazgrałem nawet na papierowej serwetce taki schemat:

Nie ulegało wątpliwości, że ich odpowiedź była bliższa prawdy niż nasza. Wygrali. Jeszcze przez kilka minut mieliłem w głowie przeprowadzone obliczenia, ale nie dało się im nic zarzucić. Matematyka nie pozostawiała wątpliwości.

Czy nie uważasz jednak, że było w tej sytuacji coś niesprawiedliwego? Być może uznasz, że nie umiem przegrywać – trudno – ale czy nie wydaje ci się, że mimo formalnego rezultatu odejmowania nasza odpowiedź była właściwsza, bardziej przemyślana i, w pewnym sensie, mniej niepoprawna niż odpowiedź przeciwnej drużyny?

Dlaczego w takim razie matematyka zdaje się twierdzić co innego? Dlaczego obliczenia wskazują na odpowiedź, która wyraźnie przeczy zdrowemu rozsądkowi?

Być może należałoby schować dumę do kieszeni i przeformułować pytanie: czy aby na pewno rozumiemy matematykę, której używamy? Matematyka się nie myli, to ludzie niewłaściwie się nią czasami posługują.

Jeżeli się zastanowić, można wyobrazić sobie wiele podobnych sytuacji. Kot ma średnio 25 cm wzrostu, a przeciętny labrador 60 cm. Niektóre bakterie mierzą 0,001 milimetra. Można by zatem stwierdzić, że pod względem rozmiarów kotu jest bliżej do bakterii niż do labradora. Między kotem a bakterią różnica wynosi bowiem 25 cm, podczas gdy kota od psa dzieli 35 cm.

Raz jeszcze werdykt liczb jest sprzeczny z naszą naturalną percepcją rzeczywistości. Kot i pies należą do tego samego świata. Mogą się razem bawić, a przynajmniej reagować na siebie. Wzajemnie się widzą i wyczuwają, jeden ma świadomość istnienia drugiego. Tymczasem kot, o ile nie studiował biologii, nie ma zielonego pojęcia o istnieniu bakterii. Nie należą one do jego świata, są tak maleńkie, że ani ich nie widzi, ani sobie ich nawet nie wyobraża.

Rozumując w ten sposób, moglibyśmy mnożyć przykłady, jedne bardziej irracjonalne od drugich, a mimo wszystko poprawne pod względem matematycznym. Temperatura na powierzchni Słońca jest bliższa 5°C niż 15 000°C. Paryżowi, pod względem populacji, jest bliżej do wioski zamieszkałej przez 12 osób niż do Nowego Jorku. Masa Marsa jest bliższa masy piłeczki pingpongowej niż Ziemi.

Jeżeli takie postawienie sprawy przeczy zdrowemu rozsądkowi, to dlatego, że tak jak w przypadku prawa Benforda, robimy błąd myślowy. Dlatego że korzystamy z narzędzi matematycznych, których nie rozumiemy w pełni, w sytuacji, do której nie są one przystosowane.

Jak zatem przełożyć nasze intuicyjne refleksje na język matematyczny? Odpowiedź kryje się w subtelnym pojęciu rzędu wielkości.

Podstawowe założenie jest proste, ale piorunująco skuteczne. Myśleć rzędem wielkości to myśleć raczej systemem mnożącym niż sumującym.

Jeżeli chcesz porównać liczby 2 i 10, możesz to zrobić na dwa różne sposoby. Addytywnie: ile trzeba dodać do 2, żeby otrzymać 10? Wówczas odpowiedź brzmi: 8. Multiplikatywnie: przez ile należy pomnożyć 2, żeby otrzymać 10? Wówczas odpowiedź brzmi: 5. Różnicę addytywną między dwiema liczbami otrzymuje się poprzez odejmowanie: 10 – 2 = 8. Różnicę multiplikatywną otrzymuje się poprzez dzielenie: 10 ÷ 2 = 5.

Powiedzieć o dwóch wartościach, że należą do tego samego rzędu wielkości, to stwierdzić, że są sobie bliskie z multiplikatywnego punktu widzenia.

Ta idea na pierwszy rzut oka może ci się wydać cudaczna, ale jeśli zaczniesz myśleć systemem mnożącym, szybko zdasz sobie sprawę, że w wielu codziennych sytuacjach takie podejście jest o wiele bardziej zgodne z naszą intuicją.

Wróćmy do naszego quizu. Gdybym miał wtedy więcej oleju w głowie, oto jak mógłbym odwołać się od werdyktu. Księżyc dzieli od Ziemi odległość 384 000 kilometrów, a nasza drużyna odpowiedziała, że 800 000, czyli przeszacowała mniej więcej dwukrotnie. Jeżeli zrobić dzielenie, okaże się, że podaliśmy liczbę dokładnie 2,08 razy większą od poprawnej. Nasi przeciwnicy odpowiedzieli, że 10 km, czyli podali liczbę 38 400 razy mniejszą! Przyjmując tę perspektywę, to my byliśmy bliżej prawdy, i to znacznie. Taki wynik jest dużo bardziej zgodny z naszą intuicją.

To samo dotyczy wszystkich wcześniejszych przykładów. Pod względem multiplikatywnym rozmiar kota jest bliższy rozmiarów psa niż bakterii, masa Marsa bliższa masy Ziemi niż piłeczki pingpongowej, populacja Paryża bliższa populacji Nowego Jorku niż maleńkiej wioski i tak dalej.

Porównując dwie liczby opisujące dowolną kategorię, w większości przypadków spontanicznie będziemy myśleć w sposób multiplikatywny. Jeżeli twój sklep podniesie o 8 zł cenę produktu kosztującego 200 zł, podwyżka prawdopodobnie cię wkurzy, ale znacznie mniej, niż gdyby market dołożył te same 8 zł do ceny produktu kosztującego 2 zł. W drugim przypadku cena podskoczy do 10 zł, czyli wzrośnie pięciokrotnie. Toż to rozbój w biały dzień! A przecież podwyżka jest identyczna.

Taki tryb porównywania nie ogranicza się wyłącznie do sfery umysłu. Nie jest to właściwość stricte intelektualna, lecz także cielesna, reguluje większość interakcji, jakie mogą zachodzić między nami a światem. Zmysły, za pomocą których odbieramy otaczający nas świat, także zdają się funkcjonować w trybie multiplikatywnym.

Gdybym zasłonił ci oczy opaską i do jednej ręki włożył przedmiot ważący 10 g, a do drugiej przedmiot ważący 20 g, bez trudu wskazałbyś ten cięższy. Gdybyś jednak musiał podnieść ciało o masie 10 kg i ciało o masie 10 kg i 10 g, byłoby ci zdecydowanie trudniej odróżnić je od siebie. A przecież różnica jest identyczna: 10 g. Ale jeśli się temu przyjrzeć, identyczna jest jedynie różnica addytywna, bo z multiplikatywnego punktu widzenia zmiana jest ogromna: przechodząc od 10 g do 20 g, podwajamy wartość. Tymczasem w drugim przypadku różnica między obydwoma masami ciał wynosi zaledwie 0,1%.

Podobnie jest z naszym wzrokiem. Włączałeś kiedyś światło za dnia? Gdy pomieszczenie jest zalane słońcem, naciśnięcie przycisku prawie niczego nie zmienia. Wydaje się, że w pokoju jest tak samo jasno bez względu na to, czy żarówka świeci, czy nie. Gdy jednak naciśniesz włącznik po zmroku, ciemność się rozproszy, a światło wypełni całe pomieszczenie. Dzięki temu zobaczymy wyraźnie to, co jeszcze przed chwilą kryło się w półmroku.

A przecież żarówka sufitowa nie wytwarza mniej światła za dnia niż w nocy. W obydwu przypadkach emituje tyle samo promieni świetlnych. To oznacza, że z addytywnego punktu widzenia rozbieżność w natężeniu światła jest w jednej i drugiej sytuacji identyczna. Ale nasze oczy nie dostrzegają rozbieżności addytywnej, tylko rozbieżność względną, czyli multiplikatywną. Za dnia jasność żarówki blednie w porównaniu z jasnością Słońca. W nocy zaś to żarówka wiedzie prym.

Zrób przegląd swoich zmysłów: dotyk, wzrok, smak, słuch, powonienie. Przyjrzyj się także swojej percepcji upływającego czasu, pokonywanych odległości oraz, bardziej subiektywnie, intensywności doświadczanych emocji. O wiele łatwiej oswoić się z tymi wszystkimi napastliwymi bodźcami zmysłowymi, gdy postrzega się je raczej multiplikatywnie niż addytywnie.

Nasze wrodzone poczucie liczb

Abyś mógł sprawdzić swoją intuicję liczbową, zrób proste doświadczenie. Przyjrzyj się poniższej linii, na której umieszczono dwie liczby: tysiąc i miliard.

Teraz odpowiedz, możliwie najbardziej spontanicznie, na następujące pytanie: gdzie na tej skali powinien się znaleźć milion? Nie bój się, że się pomylisz, nie ma złych odpowiedzi – najważniejsze to zobaczyć, co ci podpowiada intuicja wielkich liczb.

No i jak, przyłożyłeś palec do osi w miejscu, gdzie twoim zdaniem leży milion? Zatem sprawdzam!

Jest całkiem możliwe, że po przeczytaniu pytania twój tok rozumowania przeszedł kilka etapów. W chwili gdy je czytałeś, w twoim mózgu prawdopodobnie zrodziła się intuicja. Surowa, niepoddana analizie idea. Następnie twoja myśl powoli zaczęła się klarować. Przypomniałeś sobie, co wiesz o liczbach tysiąc, milion i miliard, i wtedy najpewniej kursor trochę się przesunął. Więcej niż trochę? W lewo czy w prawo? Być może wziąłeś nawet poprawkę na to, o czym napisałem wcześniej. Być może stwierdziłeś, że pytanie nie było zbyt precyzyjne, że gdzieś musi tkwić haczyk. Oceniałeś sytuację z addytywnego czy multiplikatywnego punktu widzenia? Czy w tym przypadku to cokolwiek zmienia?

Szukając odpowiedzi na postawione tu pytanie, każdy ma prawo rozumować na swój sposób, ale najczęściej zaczynamy wizualizować sobie milion mniej więcej w połowie drogi między tysiącem a miliardem. Albo nieco na lewo od środka, ponieważ szybko zdajemy sobie sprawę, że milionowi jednak bliżej do tysiąca niż do miliarda. Im dłuższa refleksja, tym bardziej kursor przesuwa się ku miejscu, gdzie umieściliśmy tysiąc.

A jak to wygląda naprawdę? Odpowiedź może wydać się zaskakująca, ale milion stoi tuż obok tysiąca. W tej skali obie liczby są w zasadzie nierozróżnialne gołym okiem. Zlewałyby się nawet w jedno z zerem, gdyby je dorzucić na lewym skraju osi.

Oczywiście w kategoriach bezwzględnych milion jest wielką liczbą, jednak należy pamiętać, że miliard jest jeszcze tysiąc razy większy! W tej skali nawet milion wygląda niepozornie. Gdybyś stanął w punkcie zero, a miliard znajdował się kilometr dalej, wówczas milion leżałby od ciebie w odległości zaledwie metra, a tysiąc – milimetra. Z daleka zero, tysiąc i milion wyglądałyby jak jeden zlepek.

Tymczasem, tak jak było w przypadku odległości do Księżyca, od werdyktu tradycyjnej matematyki włos się jeży na głowie. Zauważ, że gdy zapisać liczby cyfrowo, milion zdaje się leżeć idealnie pośrodku, między tysiącem a miliardem:

Tysiąc:

1000

Milion:

1 000 000

Miliard:

1 000 000 000

Milion ma o trzy zera więcej niż tysiąc i o trzy zera mniej niż miliard. Oko przywiązuje wagę nie do wartości, ale do długości zapisu, wobec czego ochoczo umieszczamy milion w środku. Sama natura naszego systemu liczbowego skłania nas ku myśleniu multiplikatywnemu. Wrażenie wzrokowe byłoby zupełnie inne, gdyby nasze liczby zapisać w systemie rzymskim albo za pomocą ułożonych jeden obok drugiego patyczków. Dodanie zera w naszym systemie jednostek, dziesiątek, setek itd. powoduje pomnożenie danej liczby przez dziesięć, sprawiając, że gubimy się między dodawaniem i mnożeniem.

Toteż jeśli zaszalejemy i przedstawimy liczby na osi w systemie multiplikatywnym, milion znajdzie się dokładnie pośrodku. Zarówno na lewo, jak i na prawo różnica multiplikatywna będzie równa tysiąc.

Dziwne jest to, że owej właściwości wielkich liczb nie widać w wypadku bardziej przystępnych wartości. Gdybym poprosił cię, abyś zlokalizował liczbę 50 na osi od 1 do 100, bez wahania umieściłbyś ją pośrodku.

Trzeba nadmienić, że nawet słowa, których używamy, dowodzą konfliktu między systemem addytywnym a multiplikatywnym. Każda cyfra jedności ma właściwą sobie nazwę: jeden, dwa, trzy… Odstęp pomiędzy każdym słowem jest więc addytywny. Na każdym etapie dodajemy 1.

Do 10 język jest addytywny. Za to po przekroczeniu 9 przechodzimy do świata multiplikatywnego. Nie ma na przykład specyficznych podstaw słowotwórczych na określenie 50 czy 60. Mówimy po prostu „PIĘĆdziesiąt” albo SZEŚĆdziesiąt”, tak jakbyśmy chcieli powiedzieć „pięć dziesiątek” czy „sześć dziesiątek”. Od tysiąca zaś nowe nazwy pojawiają się w rytmie multiplikatywnym razy tysiąc: tysiąc, milion, miliard, bilion, biliard… a każde oznacza liczbę tysiąc razy większą od poprzedzającej.

Gdybyśmy umieścili te liczby na klasycznej osi addytywnej, wszystkie kłębiłyby się przy zerze i wyglądały na mikroskopijne w porównaniu z ostatnią. Miliard jest maluteńki przy bilionie, który z kolei jest śmiesznie mały przy biliardzie itd.

Ten przeskok w nazewnictwie dotyczącym liczb jest prawie niezauważalny, gdy uczymy się liczb w szkole. A mimo to odciska piętno na naszym sposobie myślenia. Nasze postrzeganie ilości nie jest ani wrodzone, ani obiektywne. Jest silnie związane ze sposobem, w jaki przyswajaliśmy matematykę.

Czy jest więc możliwe, aby na moment zapomnieć o nabytej wiedzy i kulturowych przeszkadzajkach, by cofnąć się do naszej pierwotnej percepcji liczb? Jak byśmy rozumowali, gdyby od dziecka nie wpajano nam gotowych konstrukcji numerycznych?

Żeby się tego dowiedzieć, warto by było zagadnąć osoby, którym oszczędzono takiej edukacji. Moglibyśmy zapytać o to dzieci, które z racji młodego wieku nie mają jeszcze zbyt dużej wiedzy o liczbach. Moglibyśmy także poprosić o opinię odizolowane od świata społeczności, których stosunek do liczb jest na tyle odmienny od naszego, że zachowuje niezależność od naszych uwarunkowań i apriorycznych sądów.

W tym celu w pierwszej dekadzie XXI wieku różne ekipy badawcze przeprowadziły niezależnie od siebie kilka eksperymentów. Testom analogicznym do naszego doświadczenia z milionem poddano między innymi małe dzieci w Stanach Zjednoczonych, a także niektórych członków plemienia Munduruku, żyjącego w amazońskiej dżungli na północy Brazylii. Język tych ostatnich nie posiada słów na określenie liczb powyżej pięciu, co sprawia, że ich postrzeganie ilości całkowicie różni się od naszego.

Uczestników doświadczeń umieszczano naprzeciw osi, której oba końce odpowiadały dwóm liczbom. Za każdym razem proszono ich, aby na osi umieścili inne liczby. Oczywiście liczby musiały być przedstawione w sposób zrozumiały dla kogoś, kto nigdy nie uczył się matematyki. Wypróbowano kilka metod, na przykład wizualną, z obrazkami przedstawiającymi kropki, albo dźwiękową, z serią bipnięć. Test przeprowadzano po upewnieniu się, że badani rozumieją zasady gry.

Wyniki były zgodne i nie pozostawiały cienia wątpliwości: u dzieci i Indian Munduruku liczby są intuicyjnie postrzegane bardziej multiplikatywnie niż addytywnie. Oto jak Munduruku umieszczają na osi liczby od 1 do 10:

Oczywiście daleko temu do doskonałości. Test rozwiązuje się w dużej mierze instynktownie i niełatwo na oko oszacować liczbę kropek. Po uśrednieniu wyników testu okazuje się, że 5 zostało umieszczone nieco za 6! Ale ta pomyłka jest nieistotna. Warto natomiast zwrócić uwagę, jak szeroko rozciągają się na początku małe liczby, podczas gdy większe są stłoczone na końcu. Tak jakby małe liczby, takie jak 1 lub 2, liczyły się bardziej niż duże liczby, takie jak 8 i 9. Małe się rozsiadają, a duże muszą się ściskać.

Czy widzisz tu jakąś analogię z prawem Benforda? Czy to zwykły zbieg okoliczności, czy może jesteśmy o krok od zrozumienia czegoś istotnego? Jak na razie związek między tym schematem a wspomnianym prawem nie wydaje się oczywisty, zachowaj jednak to spostrzeżenie na później, niedługo wrócimy do tej kwestii.

Wspomniana tendencja znajduje potwierdzenie we wszystkich wariantach testu. Tych z większymi liczbami, sięgającymi 100, a także tych, którym poddano dzieci. Na przykład często zdarzało się, że dziecko, któremu polecono umieszczenie liczby 10 na osi od 1 do 100, wskazywało mniej więcej na środek linii. Taki wynik daje do myślenia, jeżeli wziąć pod uwagę, że w ujęciu multiplikatywnym 10 faktycznie znajduje się w połowie drogi między 1 a 100.

A gdybyśmy poszli jeszcze dalej?

Wiele doświadczeń przeprowadzonych w XX wieku wykazało, że ten sposób percepcji liczb nie przysługuje ludzkości na wyłączność. Cechują się nim mózgi gatunków innych niż Homo sapiens.

Sporo zwierząt ma naturalny zmysł ilości. Choćby po to, by móc oszacować wielkość zapasów czy liczebność zagrażających zwierzętom drapieżników. Zmysł ten, w porównaniu z tym, którym mogą się szczycić ludzie, pozostaje niedokładny i ograniczony, ale bynajmniej nie jest z tego powodu mniej zaskakujący.

W przypadku zwierząt sposób zaplanowania doświadczeń, jak i interpretacja otrzymanych rezultatów wymagają znacznej subtelności i ostrożnej analizy. Nie da się bezpośrednio porozumieć z końmi, ptakami czy szympansami, wyjaśnić im w szczegółach, na czym będzie polegało doświadczenie, ani sprawić, by zrozumiały cel wykonywanych czynności. A jednak fakty są uderzające i zdają się dowodzić, że niektóre zwierzęta także postrzegają liczby multiplikatywnie.

Oto przykład doświadczenia, które przeprowadzono z udziałem szczurów. Badacze umieścili kilka osobników w klatkach wyposażonych w dwie dźwignie. Następnie regularnie odtwarzali zwierzętom serie sygnałów dźwiękowych, obejmujących albo dwa, albo osiem odgłosów. Gdy rozlegały się dwa sygnały, szczury dostawały pożywienie, o ile nacisnęły pierwszą dźwignię. Gdy rozbrzmiewało osiem dźwięków, wówczas to druga dźwignia gwarantowała zdobycie pokarmu. Po pewnym okresie nauki gryzonie przyswoiły sobie przyjętą przez naukowców zasadę i naciskały odpowiednią dźwignię w zależności od liczby sygnałów.

Kiedy szczury nauczyły się już obsługi dźwigni, można było rozpocząć właściwe doświadczenie. Co się dzieje, gdy wytrenowane gryzonie słyszą liczbę dźwięków inną niż dwa albo osiem? Przy trzech sygnałach, po bardzo krótkim wahaniu szczury idą do pierwszej dźwigni, tak jak w przypadku dwóch dźwięków. Przy pięciu, sześciu lub siedmiu sygnałach kierują się raczej do drugiej dźwigni, jak w przypadku ośmiu dźwięków. Natomiast przy czterech dźwiękach następuje kompletna dezorientacja! Połowa badanych szczurów niepewnie drepcze w kierunku pierwszej dźwigni, reszta zaś zmierza ostrożnie ku drugiej. Tak jakby dla szczurów liczba cztery leżała w połowie drogi między dwa a osiem, co sprawia, że wybór dźwigni staje się całkowicie losowy.

Na pewno spodziewasz się już następującej konkluzji: z multiplikatywnego punktu widzenia 4 leży dokładnie pośrodku między 2 i 8. Gdyby szczury myślały addytywnie, to 5 powinno wzbudzać ich wątpliwości. A jednak z równowagi wytrąca je 4.

Identyczne doświadczenia zostały przeprowadzone przy użyciu innych liczb niż 2 i 8 oraz z udziałem innych zwierząt niż szczury. Fakt, trudno domyślać się, co dokładnie dzieje się w głowach tych małych stworzeń, a wyniki badań nie przynoszą jednoznacznych odpowiedzi. Pewne jest jednak, że za każdym razem wahanie pojawia się raczej w okolicach środka multiplikatywnego niż addytywnego.

Bez względu na to, jak daleko zapuszczamy się w głąb mózgu ku źródłom naszego pojmowania liczb, nieodwołalnie dochodzimy do tej samej prawdy: nasz pierwotny zmysł ilości wydaje się fundamentalnie i naturalnie multiplikatywny.

A przecież jest jasne, że żaden mózg człowieczy czy zwierzęcy bez odpowiedniego przygotowania nie potrafi przeprowadzić dokładnych obliczeń, pozwalających mu udzielić odpowiedzi na tego rodzaju pytania. Myślenie multiplikatywne nie jest ani świadome, ani precyzyjne. Jego wyniki są spontaniczne i intuicyjne, trochę jak wtedy, gdy w pierwszym odruchu umieściłeś milion w połowie drogi między tysiącem a miliardem. Nie dowodzą one żadnej wiedzy matematycznej, są tylko świadectwem istnienia najwyraźniej wrodzonego mechanizmu myślowego, w który wszyscy zostajemy wyposażeni na wczesnym etapie rozwoju i który generuje pierwsze, w przybliżeniu multiplikatywne intuicje dotyczące liczb.

Podobne testy, przeprowadzone na dorosłych Amerykanach, pozwoliły jasno stwierdzić, że intuicja multiplikatywna zanika w miarę nabywania wiedzy szkolnej i matematycznej. W odniesieniu do liczb od 1 do 10 dorośli ściśle przestrzegają skali addytywnej. Jednak instynkt multiplikatywny nie obumiera całkowicie, stopniowo daje o sobie znać przy okazji wielkich liczb, z którymi jesteśmy mniej oswojeni.

Liczenie addytywne nie jest więc tak instynktowne, jak mogłoby się wydawać. W końcu jest to tylko nawyk, jaki wyrabia się w nas w dzieciństwie. W swoim artykule z 1938 roku Frank Benford pisze: „Jesteśmy tak bardzo przyzwyczajeni do numerowania rzeczy 1, 2, 3, 4… i do twierdzenia, że są one ułożone według naturalnego porządku, iż niełatwo nam zaakceptować pomysł, by to ciąg 1, 2, 4, 8… był naturalnym porządkiem”.

Być może tobie również trudno jeszcze przyjąć to do wiadomości. Niełatwo jest zapomnieć o skali addytywnej, skoro przez tyle lat kształtowała umysł. Jeżeli znajdujesz się w grupie osób, którym sprawia to kłopot, nie przejmuj się, przeczytaj jeszcze kilka stron, wrzuć na luz i daj się ponieść. Przekonasz się, że odkrywanie, a raczej powracanie do nowego sposobu myślenia, jest niesamowicie ekscytujące.

Rodzi się jednak pewne pytanie: skoro nasza intuicja jest multiplikatywna i skoro jest ona bardziej dostosowana do oglądu otaczającego nas świata, dlaczego tak usilnie staramy się ją usunąć z naszego sposobu rozumowania? Po co na siłę wtłaczać tam mniej zgodny z rzeczywistością system addytywny? Czy nie jest tak, że szkolna matematyka stłumiła w nas poprawne myślenie zdroworozsądkowe, by zastąpić je sztucznym i nieadekwatnym?

Czy mamy zrezygnować z dodawania?

Odpowiedź brzmi: nie. Myślenie addytywne samo w sobie nie jest bezużyteczne. W wielu sytuacjach jest nawet szalenie przydatne. Następnym razem, gdy przyjdzie ci płacić za zakupy w kasie supermarketu, przypuszczalnie ucieszysz się, że kwota na paragonie nie będzie efektem mnożenia. Prawdopodobnie zresztą nie muszę cię przekonywać, że mimo wszystkiego, o czym tu była mowa, dodawanie i odejmowanie pozostają – a jakże – integralną częścią naszej codzienności. W mniejszym stopniu, niż ci się wydawało, ale jednak.

Co więcej, nawet mnożenie nie może się obejść bez dodawania. Bo choć nasza intuicja jest zasadniczo multiplikatywna, nie oznacza to, że matematykę multiplikatywną łatwiej zrozumieć. Bez nauki matematyki nie da się rozwinąć owej pierwotnej myśli tak, by mogła ukazać cały swój potencjał. Dlatego aby zgłębić pojęcie mnożenia, koniecznie należy dobrze opanować pojęcie dodawania.

No dobrze, ale koniec końców, jaki jest najlepszy sposób porównania dwóch liczb?

Nie ma absolutnej i definitywnej odpowiedzi na to pytanie. O wszystkim decyduje kontekst. A czasem wybór bywa trudny. Zdarzają się sytuacje niejednoznaczne i pośrednie, uniemożliwiające dokonanie najlepszego wyboru. Dodawanie i mnożenie są po prostu dwoma – różnymi, ale uzupełniającymi się – sposobami postrzegania liczb.

Takie stwierdzenie można by uznać za porażkę. Czyż matematyka nie powinna dawać precyzyjnych i ostatecznych odpowiedzi? Jak to możliwe, by nauka ścisła pozwalała sobie na „to zależy”? Za tym pozornym paradoksem kryje się kreatywna dwuznaczność matematyki. Jest ona usiana owymi „to zależy” po horyzont. Właśnie one czynią z niej cudowną przestrzeń wolności i innowacyjności. Matematyka niejedno ma imię, jest wielobarwna, relatywna. I bardzo dobrze.

Zaakceptowanie oraz umiejętne posługiwanie się tą względnością jest niewyczerpanym źródłem radosnych odkryć i kreatywności. Matematyka oferuje tysiące różnych narzędzi do analizy tego samego problemu. Owe narzędzia są jak klawisze pianina. Ich poznanie to solfeż, granie na nich to sztuka. Pytanie, czy lepiej porównywać dwie liczby za pomocą dodawania czy mnożenia, to jak zastanawianie się, czy lepiej komponować w G-dur czy w a-moll. Wybór należy do ciebie. Być może nie zawsze będzie najtrafniejszy, ale to nieistotne.

Możesz lubić grę na pianinie, nie będąc Mozartem. Możesz lubić grę w matematykę, nie będąc Einsteinem. Nie bój się. Im więcej będziesz grał, tym większą osiągniesz maestrię. I tym bardziej czarująca dla ciebie będzie muzyka liczb.

Skrybowie bez zera i przecinków

I oto doszliśmy do takiego etapu naszego dochodzenia, gdy trzeba pogrzebać w przeszłości podejrzanych. Aby pojąć, na czym polega uzupełniające się współzawodnictwo między dodawaniem i mnożeniem, musimy cofnąć się do początków matematyki. Skąd się wzięły te działania? Jaka jest ich geneza i jak stały się tym, czym są dzisiaj?

Zamknij na chwilę oczy, weź głęboki oddech i lećmy. Obieramy kurs na Środkowy Wschód, ku obszarom obecnego Iraku. Tam zanurzymy się w zagmatwaną, odległą przeszłość, która skrzętnie skrywa kilka intrygujących sekretów dotyczących liczb i działań matematycznych.

Właśnie cofnęliśmy się o cztery tysiące lat. Jesteśmy na urodzajnych równinach Babilonii, jednej z pierwszych cywilizacji w epoce jej szczytowego rozkwitu. Już od kilku stuleci brzegi Tygrysu i Eufratu pysznią się pięknymi i bogatymi miastami, o murach mieniących się rdzawą czerwienią od gliny, z której są zbudowane. Największe spośród nich liczą dziesiątki tysięcy mieszkańców. Mówi się głównie po akadyjsku, lecz słychać także inne języki. Pismo istnieje już od ponad tysiąca lat, zapewniając międzypokoleniowy przekaz wiedzy i postęp. Funkcjonuje rozbudowany aparat urzędniczy. Dynamicznie rozwija się handel.

To tutaj, w sercu tych starożytnych miast, pojawiły się pierwsze szkoły skrybów, kuźnie awangardowej wiedzy. Zanim się to stało, większość umiejętności nabywano w miejscu pracy, przysposabiając się do zawodu. Rodzice przekazywali je dzieciom, mistrzowie kupiectwa czeladnikom, a rzemieślnicy jednego cechu wymieniali się po prostu tajnikami swojej profesji między sobą. Owszem, szkoły zaczęły powstawać już kilka wieków wcześniej, nie odgrywały jednak zbyt dużej roli i były słabo zorganizowane. Pod koniec III tysiąclecia p.n.e. formalnie kształtuje się system szkolnictwa, a edubby, czyli „domy tabliczek”, mnożą się we wszystkich większych miastach regionu.

Do jednej z takich edubb właśnie się udajemy.

Oto stoimy na brzegu Eufratu, u bram miasta Nippur, zajmującego obszar nieco ponad 1 km^2. W jego sercu wznosi się E-kur, „Dom-Góra”, który górując nad miastem, oczarowuje przyjezdnych. Obchodząc go od zachodu, mijamy świątynię Isztar, bogini miłości i wojny. Wzdłuż jej ścian ciągnie się kanał, a po okolicznych uliczkach niesie się echem wrzawa, którą wzbudza na nabrzeżu krzątanina kupców i przewoźników.

Idziemy wzdłuż kanału, by po 200 metrach skręcić w lewo. To tutaj znajduje się dzielnica skrybów. Na tym niewielkim wzniesieniu, nieco na uboczu, jest stłoczonych kilkadziesiąt niskich zabudowań, z których każde wychodzi na oddzielne, niezadaszone podwórze. Za czterdzieści wieków zostanie tu znalezionych kilka tysięcy glinianych tabliczek pokrytych gęsto drobnym pismem uczniów, a archeologowie nazwą to miejsce „Wzgórzem tabliczek”.

Nippurskie edubby są znane w całej Mezopotamii. To tutaj skupiają się najprężniej działające i najbardziej wpływowe szkoły. Na każdym z tych niewielkich podwórek grupki uczniów zapisują rzędami na glinianych tabliczkach precyzyjne i nieregularne symbole pisma klinowego. To dla nich mistrzowie wymyślili pierwsze w historii programy nauczania. We wszystkich mezopotamskich szkołach podstawy programowe są takie same jak w Nippur. Uczniów stopniowo zapoznaje się z wszystkim, o czym dobrze wykształcony skryba powinien wiedzieć. Uczą się sumeryjskiego, języka wiedzy, doskonalą się w kaligrafii, robią ćwiczenia i piszą wypracowania. Mają tam również dostęp do najbardziej rozwiniętych wówczas gałęzi wiedzy. W tym, oczywiście, do matematyki.

Matematyka skrybów i matematyka, jaką posługuje się ulica, to dwie różne sprawy. Tak jak sumeryjski jest językiem erudytów i nie znajduje się w powszechnym użyciu, tak uczeni mają swój własny system liczbowy. System różniący się od tego, którym posługują się kupcy czy pasterze podczas przeprowadzania codziennych transakcji. To właśnie dzięki temu systemowi cywilizacja mezopotamska jako pierwsza zakosztowała, nie do końca celowo, uroków myślenia multiplikatywnego.

Wejdźmy na moment do jednej z edubb. Uczniowie znajdują się na podwórku. Jest ich około dziesięciu, siedzą na ziemi, w pełnym słońcu, rozwiązując zadania matematyczne. W prawej dłoni ściskają rylec – ścięty skośnie kawałek trzciny, którego ostrze sprawnie porusza się po miękkiej, świeżej powierzchni gliny. Czasem jeden z uczniów wstaje i podchodzi do studni, by zaczerpnąć odrobinę wody i namoczyć tabliczkę lub zetrzeć błąd.

Chociaż ich pismo różni się od naszego, system liczbowy jest zadziwiająco nowoczesny i bliski temu, którego używamy współcześnie. Jest to system pozycyjny. System, w którym wartość danej cyfry zależy od miejsca zajmowanego w zapisie.

Pisząc na przykład liczbę 123, wiesz, że są tu trzy jednostki, dwie dziesiątki i jedna setka. Wartość każdej pozycji jest dziesięciokrotnością pozycji znajdującej się na prawo. Mezopotamski system liczbowy funkcjonuje na tej samej zasadzie, z jednym wyjątkiem: każda pozycja jest sześćdziesięciokrotnością pozycji leżącej po prawej stronie. Nazywa się go systemem liczbowym o podstawie 60 lub sześćdziesiątkowym systemem liczbowym.

Spoglądając na tabliczkę jednego z uczniów, widzisz, że zapisał na niej 123. A ściślej mówiąc, w zapisie klinowym. Ta liczba składa się więc z trzech jednostek, dwóch sześćdziesiątek i jednej sześćdziesięciokrotności sześćdziesięciu (czyli jednej trzytysiącesześćsetki). oznacza zatem liczbę, którą w naszym systemie dziesiątkowym zapisalibyśmy jako 3723 (1 × 3600 + 2 × 60 + 3 × 1).

Systemu liczbowego o podstawie 60 używano przez dwa tysiąclecia, aż do schyłku cywilizacji mezopotamskiej. A jednak mimo fantastycznej skuteczności i zadziwiającej nowoczesności system ów miał dwie luki. Nippurskim uczonym nie wpadło bowiem do głowy, by wymyślić zero i przecinek.

Prawdopodobnie nie jesteś jeszcze na tyle obeznany z pismem klinowym i zapisem sześćdziesiątkowym, by dostrzec konsekwencje takiego zaniedbania, wyobraź więc sobie, co by się stało, gdyby dotyczyło ono naszego systemu dziesiątkowego. Jak byśmy sobie poradzili bez zera i przecinka? Spójrz na przykład na te liczby:

12

120

1200

12 000

1,2

0,0012

Teraz usuń zera i przecinki, a otrzymasz:

12

12

12

12

12

12

Kompletna niedorzeczność!

Tych liczb nie można od siebie odróżnić. Zapis liczb 12, 120 i 1,2 jest identyczny, tak jak identyczny będzie zapis liczb 540, 5400 i 0,54 albo liczb 9900, 990 i 9,9. Z braku pomysłu na zero i przecinek, bądź jakiekolwiek inne symbole spełniające ich funkcje, mezopotamscy skrybowie musieli stawić czoła poważnemu problemowi: w ich systemie różne liczby mogły mieć identyczny zapis!

Owszem, tę drobną niedoróbkę można łatwo wybaczyć, mając na uwadze, jakich naukowych wyczynów dokonali za pomocą swoich liczb: stworzyli piekielnie skuteczny aparat administracyjny, przeprowadzali niesamowicie precyzyjne obliczenia architektoniczne oraz odwzorowania topograficzne, dokonywali niewiarygodnie celnych pomiarów astronomicznych oraz obserwacji zjawisk kosmologicznych, posługiwali się abstrakcyjną matematyką, która to umiejętność zniknie wraz z ich cywilizacją i zostanie odkryta na nowo dopiero po upływie przeszło tysiąca lat. Nie można powiedzieć, żeby brak zera i przecinka jakoś specjalnie im przeszkadzał.

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki

[1] Takie wyniki otrzymał autor w styczniu 2019 roku na podstawie 1226 cen pozyskanych według wskazanej metody, z czego od 1 zaczynało się 391 cen (31,9%), od 2 – 315 (25,7%), od 3 –182 (14,8%), od 4 – 108 (8,8%), od 5 – 66 (5,4%), od 6 – 50 (4,1%), od 7 – 40 (3,3%), od 8 – 30 (2,4%), od 9 – 44 (3,6%). (Jeśli nie podano inaczej, przypisy dolne pochodzą od autora – przyp. red.).

[2] Liczba ta stale się zmienia. Według ONZ istnieje 195 państw, w tym 193 członków ONZ i dwa kraje niezrzeszone: Stolica Apostolska i Palestyna. Międzynarodowy Komitet Olimpijski wymienia natomiast 206 państw, a Międzynarodowa Federacja Piłkarska (FIFA) – 211 (przyp. red.).